JMO2025的一道几何题

huhuyang2010

不是很难，差不多高联1-2试难度，大家试试。

huhuyang2010

我先给个解答：
先证明O2 O P共线、O1 O Q共线。
延长O1O交BC于Q1，延长O2O交BC于P1。
∠AO1Q1=pi-∠AOB=pi-2∠ACB，∠AP1Q1=pi-2∠ACB。所以A O1 P1 Q1 四点共圆。
同理A O2 Q1 P1四点共圆，进而P1 Q1既在圆AO1O2上，也在BC上，故P1=P，Q1=Q。
显然O是三角形APQ的内心，由鸡爪定理可知OPQ的外心就是AO与圆APQ的交点，结论成立！

vke_ri

最近论坛好多几何题唉……

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huhuyang2010

有个瑕疵，补充下。由于ABC是锐角三角形，P1在Q1左侧，所以P1=P，Q1=Q。
事实上，ABC是钝角三角形结论同样成立。

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